Question

有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上（如图所示），求这个内接矩形的最大面积．

Answer 1

解：如图（1）设∠FOA=θ，则FG=Rsinθ，
在△OEF中，．
又设矩形EFGH的面积为S，那么
=
又∵0°＜θ＜60°，故当cos（2θ-60°）=1，即θ=30°时，S取最大值
如图（2），设∠FOA=θ，则EF=2Rsin（30°-θ），在△OFG中，∠OGF=150°，故
即FG=2Rsinθ
设矩形的面积为S．
那么S=EFFG=4R²sinθsin（30°-θ）
=2R²[cos（2θ-30°）-cos30°]=
又∵0＜θ＜30°，故当cos（2θ-30°）=1即θ=15°时，S取最大值，显然，，所以内接矩形的最大面积为．
分析：本题入手要解决好两个问题，
（1）内接矩形的放置有两种情况，如图所示，应该分别予以处理；
（2）求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量．
点评：本题关键是如何利用角θ表示矩形的长与宽，合理地把长与宽放在三角形中，利用正弦定理或三角定义来表示．