Question

20．如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD．
（1）设EF=λBD，是否存在实数λ，使BF∥平面ACE；
（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF
（3）当EF=$\frac{1}{2}$BD时，求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）存在$λ=\frac{1}{2}$．证明四边形EFBO是平行四边形，可得BF∥EO，使BF∥平面ACE；
（2）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面BDEF；
（3）几何体的体积V_ABCDEF=2V_A-BDEF=2×$\frac{1}{3}$S_BDEF•AO

解答 （1）解：存在$λ=\frac{1}{2}$．证明：记AC与BD的交点为O，则DO=BO=$\frac{1}{2}$BD，连接EO，
∵EF∥BD，当$λ=\frac{1}{2}$时，即EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，
∴BF∥EO，
又∵EO?面ACE，BF?面ACE，
∴BF∥平面ACE；             …4’
（2）证明：∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴ED⊥AC．
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
又ED∩BD=D，∴AC⊥平面BDEF，
又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；…8’
（3）解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，
又∵EF∥BD且EF=$\frac{1}{2}$BD，∴BDEF是直角梯形，
又∵ABCD是边长为2的正方形，BD=2$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{2}$，
∴梯形BDEF的面积为$\frac{（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）×1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由（1）知AC⊥平面BDEF，
∴几何体的体积V_ABCDEF=2V_A-BDEF=2×$\frac{1}{3}$S_BDEF•AO=2×$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=2．…13’

点评 本题主要考查空间直线与平面，面面垂直的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理．