Question

1950～1958年我国的人口数据资料：

年份x	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
人数 Y/万人	55 196	56 300	57 482	58 796	60 266	61 560	62 828	64 563	65 994

求Y关于x的非线性回归方程.

Answer 1

解：根据收集数据，作散点图.

?

根据已有函数知识，发现样本点分布在某一条指数函数周围，Y=c₁e^c₂^x (其中c₁，c₂是待定参数).

令z=lny,则有y=e^z,?

∴e^z=e^lnc₁+c₂^x.?

z=c₂x+lnc₁=bx+a,?

变换后：?

x	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
z=lny	10.92	10.94	10.96	10.98	11.01	11.03	11.05	11.08	11.09

由散点图可知，x与z线性相关，故采用一元线性回归模型，由表中数算得:?

=1 954,L_xz=(z_i-)=1.23,?

=11.01,L_xx==60.?

∴b=≈0.021.??

a=-b=-30.02.?

∴=a+bx=0.021x-30.02,?

即lny=0.021x-30.02.?

∴y=e^0.021x-30.02.?

因此，所求非线性回归方程为y=e^0.021x-30.02.

1.2       点评：有些非线性的回归问题可化为线性问题来考虑，通过变换变量来实现.