题目内容

设{|an|}（n∈N*）是递增的等比数列，对于给定的k（k∈N*），若
a
2
1
+
a
2
2
+…+
a
2
k
=
1
3
(4k-1)，则数列{an}（n=1，2，3，…，k）的个数为（　　）
A、2个
B、4个
C、2k个
D、无穷多个
分析：先根据
a
2
1
+
a
2
2
+…+
a
2
k
=
1
3
(4k-1)求出数列的通项，对于数列{an}而言，有k项，而每一项有两种可能，一是an=2k-1，二是an=-2k-1，从而得到所以数列的个数为2k．
解答：解：∵
a
2
1
+
a
2
2
+…+
a
2
k
=
1
3
(4k-1)…①，
∴
a
2
1
+
a
2
2
+…+
a
2
k-1
=
1
3
(4k-1-1)…②（k≥2）
①-②得所以ak2=4k-1（k≥2）
当k=1时，a1=1，满足上式
∴ak2=4k-1
|ak|=2k-1
即ak=±2k-1
对于{an}而言，有k项，而每一项有两种可能，一是an=2k-1，二是an=-2k-1，
所以数列的个数为2k，
故选C．
点评：本题主要考查了数列的应用，以及已知前n项和求数列的通项，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f(x)=
3
2
-
2
2x+
2
图象上任意两点，且x1+x2=1．
（Ⅰ）求y1+y2的值；
（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)（其中n∈N*），求Tn；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设an=
2
Tn
（n∈N*），若不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1＞
1
2
loga(1-2a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
设二次函数f（x）=x2+x，当x∈[n，n+1]（n∈N*）时，f（x）的所有整数值的个数为g（n）．
（1）试用n表示g（n）；
（2）设an=
2n3+3n2
g(n)
（n∈N*），Sn=a1-a2+a3-a4+…+（-1）n-1an，求Sn；
（3）设bn=
g(n)
2n
，Tn=b1+b2+…+bn，若Tn＜M（M∈Z），求M的最小值．
（2012•卢湾区一模）已知函数f（x）=
x+1-tt-x
（t为常数）．
（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设an=f（n）（n∈N*），当t＞10，且t∉N*时，试判断数列{an}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述构造过程中，若xi（i∈N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．若可用上述方法构造出一个常数列{xn}，求t的取值范围．
（2012•卢湾区一模）已知函数f（x）=
x+1-tt-x
（t为常数）．
（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设an=f（n）（n∈N*），当t＞10，且t∉N*时，试判断数列{an}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述构造过程中，若xi（i∈N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．若取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数t的值．
（2013•广西一模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+2=（2+cosnπ）（an-1）+3，n∈N*．
（1）求通项公式an；
（2）设{an}的前n项和为Sn，问：是否存在正整数m、n，使得S2n=mS2n-1？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．

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