Question

某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是

1

6

，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为；{P_n-P_n-1}
（1）求P₀，P₁，P₂；
（2）求证：{P_n-P_n-1}为等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率．

Answer 1

分析：（1）棋子在0站是一个必然事件，得到发生的概率等于1，掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，根据正方体各个面出现的概率得到结果．
（2）由题意知连续三项之间的关系，根据得到的关系式，仿写一个关系式，两个式子相减，构造一个新数列是连续两项之比是一个常数，得到等比数列．
（3）写出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中间项得到首项和末项之间的关系，得到玩该游戏获胜的概率．

解答：解：（1）∵棋子在0站是一个必然事件，得到发生的概率等于1，
掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；
若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，
棋子跳到第二站的概率时
∴P0=1，P1=

1

3

，P2=

7

9

（2）由题意知：Pn=

1

3

Pn-1+

2

3

Pn-2
∴Pn-Pn-1=-

2

3

(Pn-1-Pn-2)
∴数列{P_n-P_n-1}是首项为P1-P0=-

2

3

公比为-

2

3

的等比数列   
（3）由（2）知Pn-Pn-1=(-

2

3

)n由累和得 
P99=

3

5

[1-(

2

3

)100]
所以玩该游戏获胜的概率为P99=

3

5

[1-(

2

3

)100]

点评：本题考查概率的实际应用，是一个中档题目，题目涉及到概率的计算，本题解题的关键是看出题目中要利用累加的方法．