Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60° 到OD．
（1）求线段PD的长；
（2）在如图所示的图形中是否有长度为

3

的线段？若有，指出该线段；若没有，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由PA与圆O相切，根据切线性质得到OA与AP垂直，所以三角形OPA为直角三角形，又B为斜边PO的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AB=OB=OA，故三角形AOB为等边三角形，得到∠AOB=60°，由旋转角也为60°得到∠POD=120°，由OD及PO的长，利用余弦定理即可求出线段PD的长；
（2）线段PA长度为

3

，理由为：由PA为圆O的切线，PB为圆的割线，由切割线定理列出PA²=PB•PC，将PA和OB的长代入即可求出PA的长．

解答：解：（1）∵PA切圆O于点A，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°，
又B为PO中点，∴AB=OB=OA．
∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，
在△POD中，由OP=OB+PB=2，OD=1根据余弦定理得：
PD2=PO2+OD2-2PO•DOcos∠POD=7，
则PD=

7

；（5分）
（2）图形中有线段PA=

3

，理由如下：
∵PA是切线，PB=BO=OC
∴PA²=PB•PC=1×3=3，
∴PA=

3

．

点评：此题考查了切线的性质，余弦定理及切割线定理．要求学生掌握直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，且圆的切线垂直于过切点的半径，熟练掌握余弦定理及切割线定理是解本题的关键．