Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2c•cosC．
（1）求角C大小；
（2）若sinB+sinA=

3

，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由C的度数及内角和定理列出关系式，用A表示出B，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，即可对于三角形ABC形状做出判断．

解答：解：（1）∵acosB+bcosA=2c•cosC，
∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
整理得：sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，即cosC=

1

2

，
∵C为三角形的内角，
∴C=60°；
（2）∵A+B+C=180°，C=60°，
∴B=120°-A，
∴sinB+sinA=sin（120°-A）+sinA=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

，
即

3

sin（A+30°）=

3

，
∴sin（A+30°）=1，
∴A=60°，B=C=120°-A=60°，
则△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．