题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （a∈R且x≠a）．
（Ⅰ）求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内的所有x都成立；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+ $数学公式$ ，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（Ⅲ）设函数g（x）=x²+|（x-a）•f（x）|，当a=-1时，求g（x）的最小值．

证明：（Ⅰ）f（x）+f（2a-x）=-2可转化为：
$\text{[math]}$
与x取值无关
∴f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内的所有x都成立；
（Ⅱ）证明：
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
f（x）值域为[-3，-2] $\text{[math]}$
（Ⅲ）解：当a=-1时，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（ⅰ）当x≥0时， $\text{[math]}$
则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）当x≤0时， $\text{[math]}$
则函数g（x）在（-∞，0]且x≠-1时单调递减，
g（x）_min=g（0）=0
综合得：当x≠-1时，g（x）的最小值是0．
分析：（Ⅰ）f（x）+f（2a-x）=-2可转化为：
$\text{[math]}$ ，与x取值无关得证；
（Ⅱ）由定义域为[a+ $\text{[math]}$ ，a+1]，得 $\text{[math]}$ ，再由f（x）= $\text{[math]}$ 求解．
（Ⅲ）解：由a=-1，得g（x）=x²+|x|（x≠-1）当x≥0时， $\text{[math]}$ 求得最小值；当x≤0时， $\text{[math]}$ 求得最小值，最后从中取最小的，作为函数的最小值．
点评：本题主要考查恒成立问题、分类常数法转化函数及分段函数求最值问题．