Question

【题目】已知函数f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（0， ）
【解析】解：函数f（x）=xex﹣ae2x可得f′（x）=ex（x+1﹣2aex），要使f（x）恰有2个极值点，
则方程x+1﹣2aex=0有2个不相等的实数根，
令g（x）=x+1﹣2aex ， g′（x）=1﹣2aex；
（i）a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在R递增，不合题意，舍，
（ii）a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=ln ，
当x＜ln 时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，ln ）递增，且x→﹣∞时，g（x）＜0，
x＞ln 时，g′（x）＜0，g（x）在（ln ，+∞）递减，且x→+∞时，g（x）＜0，
∴g（x）max=g（ln ）=ln +1﹣2a =ln ＞0，
∴ ＞1，即0＜a＜ ；
所以答案是：（0， ）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．