Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直. 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.

    （1）求MN的长；

    （2）当a为何值时，MN的长最小；

    （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.

Answer 1

（1）；(2) 当时，MN的长最小，此时MN=;(3) 二面角= －。

解析:

如图，建立空间直角坐标系B-xyz，

则A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，1，0），F（1，1，0），

（1）

，

（2）由（I）知：

     所以当时，MN的长最小，此时MN=．

（3）由（II）知，当MN的长最小时，，此时M、N分别是AC、BF的中点．

取MN的中点G，连结AG、BG，易证∠AGB为二面角A-MN-B的平面角．

    ∵点，点，∴点

    ∴，，

∴，

∴故所求二面角= －