Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log₂x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（　　）

A．

（0，）

B．

（，1）

C．

（1，2）

D．

（2，3）

Answer 1

考点：

根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用．

专题：

计算题．

分析：

根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log₂x为定值，可以设t=f（x）﹣log₂x，则f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，变形化简可得log₂x﹣=0，令h（x）=log₂x﹣，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．

解答：

解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log₂x]=3，

又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，

则f（x）﹣log₂x为定值，

设t=f（x）﹣log₂x，则f（x）=log₂x+t，

又由f（t）=3，即log₂t+t=3，

解可得，t=2；

则f（x）=log₂x+2，f′（x）=，

将f（x）=log₂x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，

可得log₂x+2﹣=2，

即log₂x﹣=0，

令h（x）=log₂x﹣，

分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，

则h（x）=log₂x﹣的零点在（1，2）之间，

则方程log₂x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，

故选C．

点评：

本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．