题目内容

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，若△OAB是等边三角形，则△OAB的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$或$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

分析 设$\overrightarrow{b}$=（x，y），根据题意和数量积公式得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AB}$，得到关于x，y的方程组，求出x，y的值，再求出三角形的边长，根据面积公式计算即可．

解答 解：设$\overrightarrow{b}$=（x，y），$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），△OAB是等边三角形，
∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{b}$=2（x，y），
∵△OAB是等边三角形，
∴cosO=cosA=cosB，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{AB}$|
∴$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{AB}|}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$-x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$+x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$+y），
∴1-x2-y2=x+2x2-$\sqrt{3}$y+2y2=-x+2x2+$\sqrt{3}$y+2y2，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OA}$=（-1，0）或$\overrightarrow{OA}$=（0，$\sqrt{3}$），
∴|$\overrightarrow{OA}$|=1，或|$\overrightarrow{OA}$|=3，
∴S△0AB=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|sin60=$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
S△0AB=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|sin60=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$或$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式、向量数量积的运算性质和模的公式和三角形的面积求法等知识，属于中档题．

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