题目内容
已知函数f（x）=
x2+2ax，g（x）=3a2Inx+b，
（Ⅰ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（Ⅱ）若b=0，h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．
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（Ⅰ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（Ⅱ）若b=0，h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．
（I）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=
．
由题意知f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0）
即
，
解得x0=a或x0=-3a（舍去），
b=
-3a2lna（a＞0）
（II）h（x）=
x2+3a2lnx-6x，h′（x）=x+
-6
要使h（x）在（0，4）上单调，
须h′（x）=x+
-6≤0或h′（x）=x+
-6≥0在（0，4）上恒成立．
h′（x）=x+
-6≤0在（0，4）上恒成立
?3a2≤-x2+6x在（0，4）上恒成立．
而-x2+6x＞0，且-x2+6x可为足够小的正数，必有a=0
或h′（x）=x+
-6≥0在（0，4）上恒成立
?3a2≥（-x2+6x）max=9，得a≥
或a≤-
．
综上，所求a的取值范围为a≥
或a≤-
或a=0．
f′（x）=x+2a，g′（x）=
| 3a2 |
| x |
由题意知f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0）
即
|
解得x0=a或x0=-3a（舍去），
b=
| 5a2 |
| 2 |
（II）h（x）=
| 1 |
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| 3a2 |
| x |
要使h（x）在（0，4）上单调，
须h′（x）=x+
| 3a2 |
| x |
| 3a2 |
| x |
h′（x）=x+
| 3a2 |
| x |
?3a2≤-x2+6x在（0，4）上恒成立．
而-x2+6x＞0，且-x2+6x可为足够小的正数，必有a=0
或h′（x）=x+
| 3a2 |
| x |
?3a2≥（-x2+6x）max=9，得a≥
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综上，所求a的取值范围为a≥
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练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
，g（x）=1+
，若f（x）＞g（x），则实数x的取值范围是（ ）
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| |x| |
| x+|x| |
| 2 |
| A、（-∞，-1）∪（0，1） | ||||
B、(-∞，-1)∪(0，
| ||||
C、(-1，0)∪(
| ||||
D、(-1，0)∪(0，
|