题目内容

已知F是抛物线y2=4x上的焦点，P是抛物线上的一个动点，若动点M满足
FP
=2
FM
，则M的轨迹方程是______．
设M的坐标为（x，y），P的坐标为（
1
4
t2，t）
∵抛物线y2=4x中，2p=4，可得
p
2
=1，∴抛物线的焦点为F（1，0）．
由此可得
FP
=（
1
4
t2-1，t），
FM
=（x-1，y）．
又∵动点M满足
FP
=2
FM
，∴（
1
4
t2-1，t）=2（x-1，y），
可得
1
4
t2-1=2x-2
t=2y
，消去参数t可得y2=2x-1，即为动点M的轨迹方程．
故答案为：y2=2x-1
练习册系列答案
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已知点A（1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．
直线y=x+m与曲线y=
1-2x2
有两个交点，则实数m的取值范围是______．
在同一坐标系中，方程
x2
a2
+
y2
b2
=1与bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲线大致是（　　）
A．B．C．D．
已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，则实数k的取值范围为______．
在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
满足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；
（2）过点A1且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使△A1BC为正三角形．
如图，以
3
2
为离心率的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2，若k1=7k2，设△BPQ与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值．
如图，已知椭圆C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的离心率为e，点F为其下焦点，点O为坐标原点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）与椭圆C相交于P，Q两点，且满足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）试用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范围．
已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求|MN|的最小值．

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