Question

设各项为正的数列{a_n}的前n项和为S_n且满足：

Sn

an

=

an+1

2

．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

；
（Ⅲ）设m，n，p∈N^*且m+n=2p，求证：

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

．

Answer 1

分析：（I）先化简，然后根据a_n=S_n-S_n-1进行化简可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，而a_n＞0，则a_n-a_n-1=1，故{a_n}为等差数列，求出通项，注意验证首项；
（II）求出Sn，然后利用裂项求和的方法进行求和即可求出Tn的值；
（III）根据m+n=2p，则mn≤p²，然后根据基本不等式可得S_mS_n≤S_P²，从而证得不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）∵

Sn

an

=

an+1

2

，∴2S_n=a_n²+a_n（n≥1）…①，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1（n≥2）…②
①-②得：2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1⇒（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，故{a_n}为等差数列，又在①中令n=1得a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）•1=n…（4分）
（Ⅱ）∵a_n=n，∴Sn=

n(n+1)

2

，
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

n+1

．…（8分）
（Ⅲ）∵m+n=2p，∴mn≤p²，…（9分）
∴SmSn=

1

4

mn[(a1+am)(a1+an)]=

1

4

mn[

a

2 1

+a1(am+an)+aman]≤

1

4

mn(

a

2 1

+2a1ap+

a

2 p

)=

mn

p2

[

(a1+ap)p

2

]2≤

S

2 p

，…（11分）
∴

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥2

1 S 2 m S 2 n

≥

2

S 2 p

，即

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

．…（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及裂项求和法求数列的和与基本不等式的应用，属于中档题．