Question

过点M（-3，2）且被圆x²+y²=25截得弦长为8的直线的方程为

5x-12y+39=0或x+3=0

．

Answer 1

分析：算出圆心为O（0，0）、半径r=5，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于3．当直线斜率存在时设直线方程为y-2=k（x+3），由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k=

5

12

，可得此时直线的方程为5x-12y+39=0；当直线斜率不存在时，直线方程为x+3=0，到圆心的距离也等于3，符合题意．由此即可得出所求的直线方程．

解答：解：圆x²+y²=5的圆心为O（0，0），半径r=5．设圆心到直线的距离为d，
①当过点M（-3，2）的直线斜率存在时，设直线方程为y-2=k（x+3），即kx-y+3k+2=0，
∵直线圆x²+y²=25截得弦长为8，
∴根据垂径定理，得

r2-d2

=4，即

25-d2

=4，解得d=3．
根据点到直线的距离公式，得

|3k+2|

k2+1

=3，解之得k=

5

12

，
此时直线的方程为y-2=

5

12

（x+3），化简得5x-12y+39=0；
②当过点M（-3，2）的直线斜率不存在时，
直线方程为x=-3，即x+3=0．
由圆心到直线的距离d=3，可得直线被圆截得的弦长也等于8，符合题意．
综上所述，可得所求的直线方程为5x-12y+39=0或x+3=0．
故答案为：5x-12y+39=0或x+3=0

点评：本题给出经过定点的直线被圆O截得的弦长，求直线的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．