Question

【题目】已知椭圆C的方程为，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过动点的直线交轴的负半轴于点，交C于点(在第一象限)，且是线段的中点，过点作x轴的垂线交C于另一点，延长线交C于点.

(i)设直线，的斜率分别为，，证明：；

(ii)求直线的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)见解析；(ii)

【解析】

（Ⅰ）根据抛物线焦点坐标求得，再利用离心率和的关系求得，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）(i)利用为线段中点表示出点坐标，再根据椭圆对称性得到点坐标；利用两点连线斜率公式表示出和，从而结论可证；(ii)将直线方程与椭圆方成立联立，利用韦达定理可用和表示出，利用同理可求得，进而利用两点连线斜率公式写出所求斜率，结合基本不等式求出最小值.

（Ⅰ）抛物线的焦点是

且 ，

椭圆的方程

（Ⅱ）(i)设，那么

是线段的中点 ，

，

(ii)根据题意得：直线的斜率一定存在且

设直线为，则直线为

联立，整理得：

利用韦达定理可知：

同理可得

当且仅当即为时，等号成立

直线斜率的最小值为