Question

已知直线l的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

（t为参数，α为倾斜角，且α≠

π

2

）与曲线C：p2=

16

cos2β+sin2β

交于A、B两点．
（1）写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中直线l的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

（t为参数，α为倾斜角，且α≠

π

2

），消参后，即可得到函数的普通方程，y=tanα（x-2），易得这是一个恒过（2，0）的直线，化为一般式后，即可得到答案．
（2）由已知中曲线C的极坐标方程：p2=

16

cos2β+sin2β

，我们易得到曲线C表示一个以原点为圆心，以4为半径的圆，再由相交弦定理，即可得到答案．

解答：解：（1）∵直线l的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

（t为参数，α为倾斜角，且α≠

π

2

）
化为普通方程得：y=tanα（x-2）…①
则直线l的一般方程为tanαx-y-2tanα=0
由①式易得直线l通过的定点P（2，0）
（2）∵直线l的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

又由曲线C：p2=

16

cos2β+sin2β

可得
曲线C的标准方程为：x²+y²=16
由相交弦定理，可得|PA|•|PB|=6×2=12

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，参数方程化为普通方程，与圆相关的比例线段，其中（1）的关键是消参和点斜式方程的几何意义，（2）的关键是得到曲线C表示一个圆．