Question

n²(n≥4,且n∈N^*)个正数排成一个n行n列的数阵:

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	a11	a12	a13	…	a1n
第2行	a21	a22	a23	…	a2n
第3行	a31	a32	a33	…	a3n
…	…	…	…	…	…
第n行	an1	an2	an3	…	ann

其中a_ik(1≤i≤n,1≤k≤n,且i,k∈N^*)表示该数阵中位于第i行第k列的数.已知该数阵第一行的数成等差数列,每一列的数成公比为2的等比数列,且a₂₃=8,a₃₄=20.

(1)求a₁₁和a_ik;

(2)设A_n=a_1n+a_2(n-1)+a_3(n-2)+…+a_n1,

证明当n为3的倍数时,(A_n+n)能被21整除.

Answer 1

(1)解:设第一行公差为d,则A_ik=A_1k×2^i-1=［A₁₁+(k-1)d］×2^i-1.?

∵A₂₃=8,A₃₄=20,

∴解得A₁₁=2,d=1.

∴A₁₁=2,A_ik=(k+1)×2^i-1(1≤i≤n,1≤k≤n,n≥4,且i,k,n∈N^*).

(2)证明:∵A_n=A_1n+A_2(n-1)+A_3(n-2)+…+A_n1=(n+1)+?n×2+(n-1)×2²+…+2×2^n-1,              ①

∴2A_n=(n+1)×2+n×2²+(n-1)×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ.                                                ②

由②-①,得A_n=2+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ-(n+1)=2ⁿ-2+2×2ⁿ-n-1=3×(2ⁿ-1)-n.?

∴A_n+n=3×(2ⁿ-1).

下面用数学归纳法证明:当n为3的倍数时,(A_n+n)能被21整除.?

设n=3m(m∈N^*,且m≥2),?

则A_3m+3m=3×(2^3m-1).?

(ⅰ)当m=2时,A₃+3=3×(2⁶-1)=189能被21整除,结论成立.?

(ⅱ)假设m=k(k∈N^*,且k≥2)时,结论成立,即A_3k+3k=3×(2^3k-1)能被21整除,则A_3(k+1)+3(k+1)=3×［2^3(k+1)-1)=3×(2^3k×8-1］=8［3×(2^3k-1)］+21.由归纳假设,3×(2^3k-1)能被21整除,?

∴A_3(k+1)+3(k+1)能被21整除.这就是说,当m=k+1时,结论也成立.?

∴当n为3的倍数时,(A_n+n)能被21整除.