Question

（2013•荆门模拟）在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2

2

a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；
（2）求二面角A-PD-E的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理即可证明；
（2）过E作EH⊥AD于H，EF⊥PD于F，连接FH，利用线面垂直的判定定理可得EH⊥平面PAD，FH⊥PD．于是∠EFH为二面角A-PD-E的平面角．又在Rt△AED和Rt△POE中，利用等积变形和边角关系即可得出．

解答：（1）证明：在△PAB中，PA=2a，PB=2

2

a，AB=2a
∴PB²=PA²+AB²，∴PA⊥AB，
同理可证：PA⊥AE．
又AB∩AE=A，AB?平面ABCDE，AE?平面ABCDE
∴PA⊥平面ABCDE．
（2）过E作EH⊥AD于H，EF⊥PD于F，连接FH，
则EH⊥平面PAD，FH⊥PD．
∴∠EFH为二面角A-PD-E的平面角．
又在Rt△AED和Rt△POE中，EH•AD=AE•DE，EF•PD=DE•PE．
∴EH=

2

5

a，EF=

2

3

2

a．
∴sin∠EFH=

EH

EF

=

3

10

10

．
故二面角A-PD-E的正弦值为

3

10

10

．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理、二面角的平面角、三垂线定理及其逆定理、等积变形和边角关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．