Question

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边的长，已知tanB=

3

，cosC=

1

3

，b=3

6

．求边AB的长与△ABC的面积．

Answer 1

分析：由B和C为三角形的内角及tanB和cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinB和sinC的值，再由b的长，利用正弦定理求出c的长，即为AB的长，由三角形的内角和定理得到A+B+C=π，进而利用诱导公式得到sinA=sin（B+C），然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各种的值代入求出sinA的值，再由b和c的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：在△ABC中，因为tanB=

3

，cosC=

1

3

，
所以sinB=

1-cos2B

=

1- 1 tan2B+1

=

3

2

，sinC=

1-cos2C

=

2 2

3

，
又b=3

6

，
由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

得：

c

2 2 3

=

3 6

3 2

，
解得c=8，即AB=8，
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（C+B）=sinCcosB+cosCsinB，
又sinB=

3

2

，cosB=

1-sin2B

=

1

2

，sinC=

2 2

3

，cosC=

1

3

，
则sinA=

2 2 + 3

6

，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=6

2

+8

3

，
综上，AB=8，S△ABC=6

2

+8

3

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．