Question

数列{a_n}中，a₁=2，an+1=2-

1

an

，（1）写出a₂，a₃，a₄：（2）猜测{a_n}表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 an+1=2-

1

an

，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想 an=

n+1

n

，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：分别令n=1，2，3，代入递推公式得：
a2=

3

2

a3=

4

3

a4=

5

4

(3)（3分）    
猜：an=

n+1

n

（5分）
证明：n=1命题成立                                        （6分）
假设n=k成立，ak=

k+1

k

(7)（7分）
当n=k+1，ak+1=2-

1

ak

=2-

k

k+1

=

k+2

k+1

（9分）
所以n∈N，命题成立．                                    （10分）

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．