Question

9．已知函数$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）+\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若f（C）=$\sqrt{3}，2sinB=cos（{A-C}）-cos（{A+C}）$，求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）通过二倍角公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），进而可得周期；
（2）通过和、差角公式化简cos（A-C）-cos（A+C）=2sinB，可知sinAsinC=sinB，利用f（C）=$\sqrt{3}$可得C=$\frac{π}{6}$，利用和角公式，通过sinAsinC=sinB=sin（A+C）解得（1-$\sqrt{3}$）sinA=cosA，进而可得结论．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）+\sqrt{3}$cos2x-1
=-cos（2x+$\frac{π}{2}$）+$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵cos（A-C）-cos（A+C）
=cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）
=2sinAsinC
=2sinB，
∴sinAsinC=sinB
∵f（C）=2sin（2C+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sin（2C+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有：2C+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∵2C+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，即C=0时不满足题意，
∴2C+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{π}{6}$，
∵sinAsinC=sinB=sin（A+C），
∴$\frac{1}{2}$sinA=sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA，
即（1-$\sqrt{3}$）sinA=cosA，
∴tanA=$\frac{1}{1-\sqrt{3}}$=-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换的应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．