Question

已知函数f(x)=

3x

a

-2x2+lnx（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）当a=3时，求在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=3时，f（x）=x-2x²+lnx，
则f′（x）=1-4x+

1

x

，且f（1）=-1，
∴f′（1）=-2，
∴在点（1，f（1））处的切线方程是y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0，
（2）由题意得，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

，
∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，
∴x∈[1，2]时，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0恒成立，
即

3

a

≥4x-

1

x

对x∈[1，2]恒成立，
设h（x）=4x-

1

x

，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，
∴

3

a

≥h(2)=4×2-

1

2

=

15

2

，解得0＜a≤

2

5

，
故a的取值范围是（0，

2

5

]．