题目内容

（2009•长宁区二模）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
i
、
j
，坐标平面上点列An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①
OA1
=
j
且
AnAn+1
=
i
+
j
；②
OB1
=3
i
且
BnBn+1
=(
2
3
)n×3
i
．
（1）求
OA2
及
OA3
的坐标，并证明点An在直线y=x+1上；
（2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an，求an（n∈N*）的表达式；
（3）对于（2）中的an，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N*都有an＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据向量的加法的几何意义，再结合坐标运算的法则，可得
OA2
及
OA3
的坐标，因而再结合已知条件，可得
OA n
=
OA 1
+
A 1A 2
+…+
A n-1A n
，代入坐标可得An（n-1，n），它满足直线方程y=x+1；
（2）用类似于（1）的方法，结合已知条件用等比数列求和公式，得：
OB n
=(9-9×(
2
3
) n，0)，代入四边形
AnBnBn+1An+1的面积，进而得到an的通项公式为an=5+（n-2）×(
2
3
) n-1；
（3）通过作差，得an-an+1= 
n-4
3
×(
2
3
)n-1，再通过讨论得到这个差在n=4时为0，而n＜4时为正，n＞4时为负，从而得到a4=a5为的最大项，因此不难求出存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*都有an＜M成立．
解答：解：（1）
OA2
=
OA1
+
A1A2
=
j
+(
i
+
j
)=
i
+2
j
=(1，2)，
OA2
+
A2A3
=
i
+2
j
+(
i
+
j
)=2
i
+3
j
=(2，3)
OA n
=
OA 1
+
A 1A 2
+…+
A n-1A n

=
j
+(n-1)(
i
+ 
j
) =(n-1)
i
+n
j
=（n-1，n）
所以An（n-1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点An在直线y=x+1上．
（2）
OB n
=
OB 1
+
B 1B 2
+…+
B n-1B n

=3
i
+
2
3
×3
i
+ (
2
3
) 2×3
i
+…+(
2
3
) n-1×3
i

=
1-(
2
3
) n
1-
2
3
×3
i
=(9-9×(
2
3
) n，0)．
设直线y=x+1交x轴于P（-1，0），
则an=S △PA n+1B n+1-S △PA nB n
=
1
2
[10-9×(
2
3
) n+1]×（n+1）-
1
2
[10-9×(
2
3
) n]×n
=5+（n-2）×(
2
3
) n-1
（3）an-an+1=[5+(n-2)×(
2
3
)n-1]-[5+(n-1)(
2
3
)n]=(
2
3
)n-1[(n-2)-(n-1)×(
2
3
)]=
n-4
3
×(
2
3
)n-1
所以a1-a2＜0，a2-a3＜0，a3-a4＜0，a4-a5=0，a5-a6＞0，a6-a7＞0，…等
即在数列{an}中，a4=a5=5+
16
27
是数列的最大项，
所以存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*都有an＜M成立．
点评：本题考查了平面向量与数列的综合，是一道难题．对于等比数列的通项和求和公式的掌握，数列单调性的充公理解，是解决本题的关键．
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