Question

已知函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（I）证明函数f（x）是奇函数；
（II）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明；
（III）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为

3

2

？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据函数单调性的定义，直接加以验证即可得到函数f（x）是奇函数；
（II）设x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差、因式分解，可得当a＞1时f（x₁）＜f（x₂），由定义可得函数f（x）是增函数，当0＜a＜1时f（x₁）＞f（x₂），可得函数f（x）是减函数；
（III）分a＞1时、0＜a＜1两种情况加以讨论，根据（II）中函数的单调性建立关于a的方程，解之可得存在
a=

2

满足f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=

3

2

．

解答：解：（I）∵f（x）=a^x-a^-x，
∴f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x）
因此，函数f（x）是奇函数；
（II）设x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=ax1-a-x1-（ax2-a-x2）=ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1•ax2

=（ax1-ax2）（1+

1

ax1•ax2

）
∵1+

1

ax1•ax2

＞0，当a＞1时ax1-ax2＜0，而0＜a＜1时ax1-ax2＞0
∴当a＞1时f（x₁）-f（x₂）＜0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
当0＜a＜1时f（x₁）-f（x₂）＞0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数
（III）根据（II）的单调性，得
①当a＞1时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=

3

2

即a²-a^-2=

3

2

，解之得a²=2（舍负），所以a=

2

（舍负）
②当0＜a＜1时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（1）=

3

2

即a¹-a^-1=

3

2

，解之得a=2不满足0＜a＜1，舍去
综上所述，可得存在a=

2

满足f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=

3

2

．

点评：本题给出含有指数的基本初等函数，讨论函数的奇偶性、单调性并求函数在闭区间上的最值．着重考查了函数的奇偶性的定义、函数单调性的定义证明法和指数方程的解法等知识，属于中档题．