Question

(本小题满分12分）四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下，其中正视图是等边三角形，俯视图是直角梯形.

(I)若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由.

(II)求三棱锥C_ADE的高.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）总有 理由如下:

取的中点，连接，

由俯视图可知，，，

所以                ……………………2分

又,所以面， 

故.               

因为是的中点，所以.…………………4分

又故面，

面，所以. ……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，,

又在正ABC中，,

所以   ,  ……………………8分

在中，,

在直角梯形中，,

在中，,

在中，可求, ………10分

设三棱锥的高为，

则 ,

又 ,

可得，解得.

所以，三棱锥的高为.         ……………………12分

【解析】(1)根据俯视图可确定平面ABC与底面BECD垂直，并且点A在底面上的射影在BC的中点位置。还可以得到,所以,又BF丄AC，所以可证出,进而证明出BF丄CM恒成立。 (2)利用体积法，易求三棱锥A_CDE的体积，然后再求出三角形ADE的面积，根据体积相等即可求三棱锥C_ADE的高。