题目内容
（2011•韶关模拟）在△ABC中，cosB=
，cosC=
．
（1）求sinA；
（2）设BC=
，求
•
值．
| ||
| 10 |
| ||
| 5 |
（1）求sinA；
（2）设BC=
| 5 |
| CA |
| CB |
分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求出sin B、sinC的值，再由sinA=sin（B+C），利用两角和的正弦公式求出sinA的值
（2）根据正弦定理求出AC的值，再利用两个向量的数量积的定义求出
•
的值．
（2）根据正弦定理求出AC的值，再利用两个向量的数量积的定义求出
| CA |
| CB |
解答：解：（1）∵cosB=
，B∈(0，π)，∴sinB=
=
，1 分
∵cosC=
，C∈(0，π)，∴sinC=
=
．2 分
∵A=π-（B+C），∴sinA=sin（B+C），…（3分）
∴sinA=sinBcosC+cosBsinC=
•
+
•
=
，6分
（2）根据正弦定理得
=
，∴AC=
，8分
∴AC=
=3，10分
∴
•
=|
|•|
|•cosC=3•
•
=3． 12分
| ||
| 10 |
| 1-cos2B |
3
| ||
| 10 |
∵cosC=
| ||
| 5 |
| 1-cos2C |
2
| ||
| 5 |
∵A=π-（B+C），∴sinA=sin（B+C），…（3分）
∴sinA=sinBcosC+cosBsinC=
3
| ||
| 10 |
| ||
| 5 |
| ||
| 10 |
2
| ||
| 5 |
| ||
| 2 |
（2）根据正弦定理得
| BC |
| sinA |
| AC |
| sinB |
| BC•sinB |
| sinA |
∴AC=
| ||||||
|
∴
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
| 5 |
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
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