Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c，则C=（　　）

• A．

  π

  6

  或

  5π

  6

• B．

  π

  6

• C．

  π

  3

  或

  2π

  3

• D．

  π

  3

Answer 1

分析：由cos（A-C）+cosB=cos（A-C）-cos（A+C）=1，可得sinAsinC=

1

2

，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联解得到sinC的值，从而得到角C的大小

解答：解：由B=π-（A+C）可得cosB=-cos（A+C）
∴cos（A-C）+cosB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC=1
∴sinAsinC=

1

2

…①
由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC…②
①②联解可得，sin²C=

1

4

∵0＜C＜π，∴sinC=

1

2

结合a=2c即a＞c，得C为锐角，∴C=

π

6

故选：B

点评：本题给出三角形的角满足的关系式，在a=2c的情况下求角C大小．着重考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的等知识，属于中档题．