Question

设的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x的有理项的项数为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：根据二项式定理，可得的展开式的通项为T_r+1=（-1）^rC_n^r•3^n-r•，即可得各项系数的绝对值，进而可得M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，又由题意，可得4ⁿ-2ⁿ=240，解可得n的值，可得其展开式的通项公式，分析x的指数可得答案．
解答：根据题意，的展开式的通项为T_r+1=C_n^r•（3x）^n-r•（-）^r=（-1）^rC_n^r•3^n-r•；
则第r+1项系数的绝对值为|T_r+1|=C_n^r•3^n-r，
M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，
其展开式的二项式系数之和为N=2ⁿ，
又由M-N=240，可得4ⁿ-2ⁿ=240，
解可得2ⁿ=16，则n=4；
则的展开式的通项为T_r+1=（-1）^rC₄^r•3^4-r•；
分析可得，r=0、2、4时，T_r+1为有理项，
则展开式中x的有理项的项数为3；
故选C．
点评：本题考查二项式定理的应用，难点在于得到各项系数绝对值的表达式，进而由二项式定理求出M的值．