Question

已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE,FE∶FD=4∶3.

（1）求证：AF=DF；

（2）求∠AED的余弦值；

（3）如果BD=10，求△ABC的面积.

Answer 1

思路解析：根据题中角的关系进行转化，可证得AF=DF.并由勾股定理、切割线定理计算.

（1）证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC.

∵∠B=∠CAE，

∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE.

∵∠ADE=∠BAD+∠B，

∴∠ADE=∠DAE.

∴EA=ED.

∵DE是半圆C的直径，

∴∠DFE=90°.

∴AF=DF.

（2）解：连结DM，

∵DE是半圆C的直径，

∴∠DME=90°.

∵FE∶FD=4∶3，

∴可设FE=4x,则FD=3x.

由勾股定理，得DE=5x.

∴AE=DE=5x,AF=FD=3x.

由切割线定理的推论，得AF·AD=AM·AE.

∴3x(3x+3x)=AM·5x.

∴AM=x.

∴ME=AE-AM=5x-x=x.

在Rt△DME中，cos∠AED==.

（3）解：过A点作AN⊥BE于N，

由cos∠AED=，得sin∠AED=.

∴AN=,AE=x.

在△CAE和△ABE中，

∵∠CAE=∠B,∠AEC=∠BEA，

∴△CAE∽△ABE.

∴，即AE²=BE·CE.

∴(5x)²=(10+5x)·x.

解得x=2.

∴AN=x=，BC=BD+DC=10+×2=15.

∴S_△ABC=BC·AN=×15×=72.