Question

已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若对于任意t∈（2，3），不等式f（kt²-2t）+f（1-t）＜0恒成立，求k的范围．

Answer 1

解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即
∴
解得a=1，b=1． …（4分）
（2）由（1）知，f（x）==-1+
∴f（x）为R上的减函数 …（7分）
∵对于任意t∈（2，3），不等式f（kt²-2t）+f（1-t）＜0恒成立，
∴f（kt²-2t）＜-f（1-t）=f（t-1）
∴kt²-2t＞t-1，∴k＞对于任意t∈（2，3）恒成立，
∵=-，
∴∈（，）
∴k≥…（12分）
分析：（1）利用奇函数的定义，建立等式，即可求a，b的值；
（2）求得函数的单调性，将不等式化为具体不等式，利用分离参数法，即可求k的范围．
点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的单调性，利用分离参数法，属于中档题．