题目内容

在函数f（x）=1gx的图象上有三点A、B、C，横坐标依次是m-1，m，m+1（m＞2）．
（1）试比较f（m-1）+f（m+1）与2f（m）的大小；
（2）求△ABC的面积S=g（m）的值域．

解：（1）∵f（m-1）+f（m+1）=lg（m-1）+lg（m+1）=lg（m²-1），2f（m）=2lgm=lgm²＞lg（m²-1），
∴f（m-1）+f（m+1）＜2f（m）．
（2）△ABC的面积S=g（m）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ [lg（m-1）+lgm]+ $\text{[math]}$ [lg（m+1）+lgm]- $\text{[math]}$ [lg（m-1）+lg（m+1）]×2= $\text{[math]}$ lg[ $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ lg（1+ $\text{[math]}$ ），
∵m＞2时，S=g（m）单调递减，
∴0＜S＜ $\text{[math]}$ lg $\text{[math]}$ ，
故△ABC的面积S的值域为（0， $\text{[math]}$ lg $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）计算 f（m-1）+f（m+1）为 lg（m²-1），化简2f（m）为 lgm²，由此可得较f（m-1）+f（m+1）与2f（m）的大小关系．
（2）根据△ABC的面积S=g（m）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，化简为 $\text{[math]}$ lg（1+ $\text{[math]}$ ），再根据m＞2时，S=g（m）单调递减求得△ABC的面积S的值域．
点评：本题主要考查对数值大小的比较，对数函数的图象和性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．