题目内容
已知△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的正切值.
【探究】 要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值.
解：取AC的中点M，连结BM，作MN⊥PC于N，连结BN.
∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.
易证BM⊥AC，AC=平面PAC∩平面ABC.
∴BM⊥平面PAC(面面垂直的性质).
∵MN⊥PC，∴NB⊥PC.
∴∠MNB是二面角A-PC-B的平面角.
易知MN=
，BM=
.
∴tan∠MNB=
.
∴二面角的正切值为
【规律总结】 度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.
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