Question

（本小题满分12分）

       已知函数f （x）＝ln（1＋x）＋a （x＋1）² （a为常数）．

   （Ⅰ）若函数f （x）在x＝1处有极值，判断该极值是极大值还是极小值；

   （Ⅱ）对满足条件a≤的任意一个a，方程f （x）＝0在区间（0，3）内实数根的个数是多少？

 

Answer 1

【答案】

（１）极大值；（２）２

【解析】（Ⅰ）f＇（x）＝

      

                                                    …………2分

      

      

       —1<x<1时，f＇（x）>0；x>1时，f＇（x）<0，[来源:学§科§网Z§X§X§K]

       ∴f（x）在（—1，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数

       所以f（1）为函数f（x）的极大值                                          …………4分

   （Ⅱ）

      

                      …………5分

       [来源:学|科|网Z|X|X|K]

+∞）是为减函数

因此f（x）在x＝—1+处取得区间（—1，+∞）上的最大值                    ——6分

由f（—1+）＝0得a＝—                                        …………7分

（1）当a<时，f（—1+

所以方程f（x）＝0在区间（0，3）内无实数根                      …………8分

（2）当a＝时，f（—1+

所以方程f（x）＝0在区间（0，3）内有且仅有1个实数根

—1+…………9分

（3）当a≤时，≤1，

又f（0）a<0，f（—1+

f（3）＝ln4＋16a≤ln4－2<0，

所以方程f（x）＝0在区间（0，3）内有2个实数根．               …………11分

综上所述，

当a＜时，方程f（x）＝0在区间（0，3）内无实数根；

当a时，方程f（x）＝0在区间（0，3）内有1个实数根；

当≤时，方程f（x）＝0 在区间（0，3），内有2个实数根．

…………12分