Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a=

3

，b+c=3，求当cosA+2cos

B+C

2

取得最大值时的边b和c的长．

Answer 1

分析：由条件可得cosA+2cos

B+C

2

= -2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

，故当sinA=

1

2

，即A=

π

3

时，取得最大值．再由余弦定理以及cosA=

1

2

求得bc=2，再根据b+c=3，求得b、c的值．

解答：解：由A+B+C=π，可得

B+C

2

=

π

2

-

A

2

，…（2分）
∴cos

B+C

2

=sin

A

2

，…（3分）
∴cosA+2cos

B+C

2

=1-2sin2

A

2

+2sin

A

2

=-2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

．…（5分）
当 sin

A

2

=

1

2

，即A=

π

3

时，cosA+2cos

B+C

2

 取得最大值为

3

2

．…（7分）
由cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

6-2bc

2bc

=

1

2

，…（9分） 
可得bc=2．…（10分）
∵b+c=3，
解得

b=1 c=2

，或

b=2 c=1

．…（12分）

点评：本题主要考查余弦定理的应用，二次函数的性质、根据三角函数的值求角，属于中档题．