Question

已知数列{a_n}的通项公式为an=-n2-2λn．(n∈N*)，且是递减数列，则λ的取值范围为

（-

3

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：由题意可得 a_n+1＜a_n，即-（n+1）²-2λ（n+1）＜-n²-2λn，解不等式求得 λ＞-

2n+1

2

恒成立，求出-

2n+1

2

的最大值，即可得到 λ的取值范围．

解答：解：数列{a_n}的通项公式为an=-n2-2λn．(n∈N*)，且是递减数列，
∴a_n+1＜a_n，即-（n+1）²-2λ（n+1）＜-n²-2λn，即-n²-2n-1-2λn-2λ＜-n²-2λn，即 2n+2λ+1＞0，即 λ＞-

2n+1

2

恒成立．
 由于n为正整数，∴

2n+1

2

≥

3

2

，∴-

2n+1

2

≤-

3

2

，即-

2n+1

2

的最大值为-

3

2

．
由于λ应大于-

2n+1

2

 的最大值，故应有  λ＞-

3

2

，
故答案为 （-

3

2

，+∞）．

点评：本题主要考查数列的函数特性，函数的恒成立为题，得到 a_n+1＜a_n，是解题的关键，属于基础题．