Question

（文科做）已知曲线f（x）=x³+bx²+cx+d经过原点（0，0），且直线y=0与y=-x均与曲线c：y=f（x）相切．
（1）求f（x）的解析式；         
（2）在b∈R⁺时，求函数y=f（x）的极值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得出d=0，y=x³+bx²+cx．设y=-x与y=x³+bx²+cx切于点（x，y），则有如下三个关系：①点（x，y）在y=-x上，②点（x，y）在y=x³+bx²+cx上 ③f′（x）=-1
以x0为桥梁得出b，c关系或数值．同样地再通过y=-x均与曲线c：y=f（x）相切．最后确定b，c的值，得出解析式．
 （2）利用函数导数与单调性的关系，求出的单调区间，再求极值．
解答：解：（1）若y=x³+bx²+cx+d过点（0，0），则d=0，∴y=x³+bx²+cx．
设y=-x与y=x³+bx²+cx切于点（x，y），则即，
若x=0时，则c+1=0；
若x≠0时，则则2x²+bx=0，∵x≠0，，则有，将代入x²+bx+c+1=0中得到：．
故c=-1或．
设y=0与y=x³+bx²+cx切于点（x₁，y₁），则，即，
若x₁=0时，有c=0；
若x₁≠0时，则则2x₁²+bx₁=0，∴代3x₁²+2bx₁+c=0中得到
故c=0或．
在c=-1时，不可能成立，舍c=-1．
在c=0时，，则b=±2，故所是解析式为y=x³±2x²．
（2）在b＞0时，y=x³+2x²，y′=3x²+4x=x（3x+4）
由y′＞0得    f（x）的单增区间是（-∞，），（0，+∞）
由y′=0 得x=-或x=0
由y′＜0得 ，f（x）的单减区间是（，0）
 在时取极大值．，x=0时取得极小值 f（0）=0
点评：本题考查导数的几何意义，函数导数与单调性的关系，函数极值求解，是常规题．