Question

（本题12分）函数．

（1）若，求的值；

（2）确定函数在区间上的单调性，并用定义证明．

 

Answer 1

（1）或；（2）在区间上单调递减．

【解析】

试题分析：（1）根据函数解析式分和两种情况解方程即可；对于分段函数求值问题，要牢牢把握分段这一特点，分段讨论，列出适合相应段的数学关系式，准确求解，正确合并，使问题得到解决．

（2）先判断函数在区间上的单调性，再利用函数单调性的定义证明；在利用函数单调性的定义证明时，要严格按照取值、做差变形、判断符号、做结论这四步进行，学生在做题时易出以下错误：①在所给区间上取两个特殊值验证后就下结论；②做差变形不彻底，影响符号的判定；③缺少判定符号的过程；④做结论时缺少单调区间．

试题解析：（1）∵ ，，

∴当时，，即，解之得或（舍）； 1分

当时，，解之得或（舍）； 2分

综上所述，实数a的值为或1． 4分

（2）在区间上单调递减． 6分

证明如下：

假设，则

8分

∵，∴，，∴，

∴， 10分

∴函数在区间上单调递减． 12分

考点：①给定分段函数的函数值，求自变量；②函数单调性的判定与证明．