Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+6x-1．当x=2时，函数f（x）取得极值．
（I）求实数a的值；
（II）若1≤x≤3时，方程f（x）+m=0有两个根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）因为f（x）在x=3是取极值，则求出f′（x）得到f′（3）=0解出求出a即可．
（II）由（Ⅰ）得f（x），若关于x的方程f（x）+m=0在[1，3]上恰有两个不同的实数根，即函数f（x）的图象与直线y=-m有两个交点，利用导数即求函数f（x）在区间[1，3]上的最值，结合图象可得实数m的取值范围．

解答：解：（I）由f(x)=

1

3

x3+ax2+6x-1，
则 f'（x）=x²+2ax+6
因在x=2时，f（x）取到极值
所以f'（2）=0⇒4+4a+6=0
解得，a=-

5

2

（II）由（I）得f(x)=

1

3

x3-

5

2

x2+6x-1
且1≤x≤3
则f'（x）=x²-5x+6=（x-2）（x-3）
由f'（x）=0，解得x=2或x=3；
f'（x）＞0，解得x＞3或x＜2；
f'（x）＜0，解得2＜x＜3
∴f（x）的递增区间为：（-∞，2）和（3，+∞）；
f（x）递减区间为：（2，3）
又f(1)=

17

6

，f(2)=

11

3

，f(3)=

7

2

要f（x）+m=0有两个根，
则f（x）=-m有两解，分别画出函数y=f（x）与y=-m的图象，如图所示．
由图知，实数m的取值范围：-

11

3

≤m＜-

7

2

．

点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性等问题，体现了数形结合和转化的思想方法，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．