Question

在数列{a_n} 中，a₁=1，a _n+1=3a_n+（n+1）•3ⁿ（n∈N^*），
（Ⅰ）设b_n=

an

3n

，求数列{b_n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

an

n

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过a _n+1=3a_n+（n+1）•3ⁿ，两边同除3ⁿ⁺¹，得到数列{

an

3n

}，利用累加法求数列{b_n} 的通项公式；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）求出数列{a_n} 的通项公式，得到数列{

an

n

}的通项公式，利用错位相减法直接求数列{

an

n

}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）a _n+1=3a_n+（n+1）•3ⁿ，两边同除3ⁿ⁺¹，
∴

an+1

3n+1

=

an

33

+

n+1

3

，
即b_n+1=b_n+

n+1

3

，
所以b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（ b₂-b₁）+b₁，又b₁=

a1

3

=

1

3

，
故bn=

n+(n-1)+…+2+1

3

=

n(n+1)

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=

an

3n

，得an= 3nbn=

n(n+1)•3n-1

2

，所以

an

n

=

3nbn

n

=

(n+1)•3n-1

2

，Sn= 

2•30

2

+

3•31

2

+

4•32

2

+…+

(n+1)•3n-1

2

…①
3Sn=

2•31

2

+

3•32

2

+

4•33

2

+…+

(n+1)•3n

2

…②

①-②得：-2Sn=

2•30

2

+ 

1

2

(3+32+33+…+3n-1) -

(n+1)•3n

2

，
所以Sn=

(2n+1)•3n-1

2

．

点评：本题是中档题考查数列通项公式的应用，数列前n项和的求法，考查计算能力，转化思想．