Question

已知定义在上的奇函数在处取得极值.

   （Ⅰ）求函数的解析式；

　 （Ⅱ）试证：对于区间上任意两个自变量的值，都有成立；

  （Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，试求点P对应平面区域的面积.

 

Answer 1

【答案】

（I）由题意，∴ ,∴,又，

        即  解得.  ∴-

 （II）∵，,

当时，，故在区间[－1，1]上为减函数，

∴

对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值，∴

   （III）设切点为，则点M的坐标满足

因，故切线的方程为：，

∵，∴整理得.

∵若过点可作曲线的三条切线，

∴关于方程有三个实根.

设，则，

由，得或.

由对称性，先考虑

∵在，上单调递增，在上单调递减.

∴函数的极值点为,或

∴关于方程有三个实根的充要条件是

，解得.   故时，

点P对应平面区域的面积

故时，所求点P对应平面区域的面积为，即8.

【解析】略