Question

设函数f(x)=x²+2lnx，f′(x)表示f(x)的导函数，（其中m∈R，且m＞0），
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的x₁，x₂∈，都有f′(x₁)≤g′(x₂)成立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)试证明：对任意正数a和正整数n，不等式恒成立。

Answer 1

解：(Ⅰ)f（x）的定义域为（0，+∞），
，∴在x∈（0，+∞）恒成立，
故f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。
(Ⅱ)依题意，问题转化为，
令，
首先求在x∈上的最大值，
由于，
当时，，所以在上递减，
故在上的最大值是，
即；
其次求函数在上的最小值，
∵
，
∴，
令，记，
由知转化为求函数在上的最小值，
又（当且仅当t=m时，取等号），
(ⅰ)若，
此时由，知，
解得：，
∴；
(ⅱ)若m＞6，函数y=h（t）在上为减函数，
则，
由题意，有恒成立，∴m＞6；
(ⅲ)若，函数y=h（t）在上为增函数，
则，
因此必须，
又由于知，此时m无解；
综上所述，m的取值范围是。
 (Ⅲ)问题即证：，
也即证：，
用数学归纳法证明：
(ⅰ)当n=1时，左=0，右=0，显然不等式成立；
(ⅱ)假设n=k（k≥1）时，原不等式成立，
即，
则n=k+1时，


，
这就是说，n=k+1时，原不等式也成立；
综上所述，对任意正数a和正整数n，不等式都成立。