Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-，]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1在[-1，1]上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，
所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，
即ln（e⁰+a）=0，解得a=0，
显然a=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数．
（2）由（1）得f（x）=x，
所以g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，
因为函数g（x）是区间[-，]上的减函数，
所以g'（x）=λ+cosx≤0 在[-，]上恒成立，
∴λ≤-1，并且在[-1，1]上g（x）_max=g（-1 ）=-λ-sin1
所以只需-λ-sin1≤t²+λt+1，
所以（t+1）λ+t²+1+sin1≥0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
令h（λ）=（t+）λ+t²，（λ≤-1）
则有 （t+1）≤0，t²+1+sin1≥0，解得t≤-1．
分析：（1）根据题意可得：f（-0）=-f（0）即f（0）=0，解得a=0．
（2）由题意可得：g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，由函数的单调性转化为：g'（x）=λ+cosx≤0 在[-，]上恒成立，进而得到λ≤-1，并且g（x）_max=g（-）=-λ-1，
再转化为（t+）λ+t²+2≥0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．把λ看为自变量利用一次函数的性质解决问题即可得到答案．
点评：本题主要考查函数奇偶性的性质（在涉及到奇函数定义域内有0时，一般利用结论f（0）=0来作题），函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题中的应用．