Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x=-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，求g（x）在区间[t，2]上的最小值H（t）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）的对称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式；
（Ⅱ）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间[t，2]上的最小值H（t）．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+bx+c的对称轴方程为x=-

1

2

，
∴b=1； 
又f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），
∴1+b+c=13，∴c=11；
∴f（x）的解析式为f（x）=x²+x+11．
（Ⅱ）∵函数g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|
=[（x²+x+11）-x²-13]•|x|
=（x-2）•|x|
=

(x-1)2-1，(x≥0) -(x-1)2+1，(x＜0)

，
画出函数图象，如图；
∴当1≤t＜2时，g（x）_min=t²-2t；
当1-

2

≤t＜1时，g（x）_min=-1；
当t＜1-

2

时，g(x)min=-t2+2t．
∴综上，H（t）=

t2-2t，(1≤t＜2) -1，(1- 2 ≤t＜1) -t2+2t，(t＜1- 2 )

．

点评：本题考查了求函数的解析式以及求函数在某一区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题．