Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面 ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4

2

，点E，点F分别是PC，AP的中点．
（1）求证：侧面 PAC⊥侧面PBC；
（2）求点P到平面BEF的距离；
（3）求异面直线AE与 BF所成的角的余弦．

Answer 1

分析：（1）以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，分别求出侧面 PAC的一个法向量和侧面PBC一个法向量，代入向量夹角公式，判断两个向量的数量积为0，即可得到侧面 PAC⊥侧面PBC；
（2）根据（1）的结论，我们可得EF⊥平面PBC，即EF⊥PC，由面面垂直的性质可得PC⊥平面BEF，故PE长即为P点到平面PEF的距离．
（3）求异面直线AE与 BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出求异面直线AE与 BF所成的角的余弦．

解答：解：（1）以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，由条件可设P（0，0，4

2

），B（0，0，0），C（0，-4

2

，0），A（4

2

，-4

2

，0）；
则E（0，-2

2

，2

2

），F（2

2

，-2

2

，2

2

），（2分）
平面PBC的法向量

a

=（1，0，0），而

PE

=(0，-2

2

，-2

2

)，
因为

a

•

PE

=0，所以侧面PAC⊥侧面PBC；（2分）
（2）证明：在等腰直角三角形PBC中，BE⊥PC，又中位线EF∥AC，而由（1）AC⊥平面PBC，则EF⊥平面PBC，
∴EF⊥PC，（2分）
所以PC⊥平面BEF，那么线段PE=

1

2

PC=4即为点P到平面BEF的距离．（2分）
（3）由（1）所建坐标系，得

AE

=（-4

2

，2

2

，2

2

），

BF

=（2

2

，-2

2

，2

2

），
∴

AE

•

BF

=-16，又|

AE

|•|

BF

|=24

2

，（2分）
cos＜

AE

，

BF

＞=-

2

3

，∴AE与 BF所成的角的余弦值是

2

3

．（2分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，其中（1）（3）的关键是利用空间坐标系，将线线夹角及面面夹角转化为向量夹角问题，（2）的关键是求了点P到平面BEF距离对应的线段的长．