Question

数列{a_n}满足．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ） 求证：a₁+a₂+…+a_n=；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足．
∴，
（Ⅱ）证明：由知  ，
．                                                                                              （1）
所以，即．                          
从而  a₁+a₂+…+a_n=
=．                          
（Ⅲ） 证明：等价于证明，即    ．                          （2）
当n=1时，，，即n=1时，（2）成立．
设n=k（k≥1）时，（2）成立，即 ．
当n=k+1时，由（1）知；        
又由（1）及知 均为整数，
从而由 有 即，
所以  ，即（2）对n=k+1也成立．
所以（2）对n≥1的正整数都成立，
即对n≥1的正整数都成立．