Question

8．设F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的右焦点，点$A（\frac{1}{2}，1）$，M是椭圆上一动点，则当$\sqrt{7}MA+7MF$取最小值时，M点坐标为（$\frac{\sqrt{210}}{6}$，1）．

Answer 1

分析 首先利用椭圆的第二定义把关系式进行转化，再利用椭圆的方程求出离心率及准线方程，利用三点共线求的最小值及对应的M的坐标．

解答 解：由椭圆的第二定义：$\frac{|MF|}{d}$=e，
d代表M到右准线的距离，用|MP|=d，
即有d=$\frac{|MF|}{e}$，
由椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，
得a=$\sqrt{7}$，b=$\sqrt{6}$，c=1，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$，右准线方程为：x=7，|MF|=ed=$\frac{d}{\sqrt{7}}$，
$\sqrt{7}MA+7MF$=$\sqrt{7}$（|MA|+$\sqrt{7}$|MF|）=$\sqrt{7}$（|MA|+d），
即当M、P、A三点共线时，|MA|+d取得最小值，
此时令y=1，可得x=$\sqrt{7×（1-\frac{1}{6}）}$=$\frac{\sqrt{210}}{6}$，
即有M（$\frac{\sqrt{210}}{6}$，1）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{210}}{6}$，1）．

点评 本题考查的知识点：椭圆的第二定义，椭圆的离心率，准线方程，以及三点共线问题，属于中档题．