Question

判断函数f(x)=x+

1

x

(x≥1)的单调性并给出证明．

Answer 1

分析：根据对勾函数的图象与性质，我们可以判断出函数在区间[1，+∞）上为单调递增函数，作取1≤x₁＜x₂，根据函数f(x)=x+

1

x

(x≥1)，我们可得f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)，判断其符号后，根据单调性的定义，即可得到答案．

解答：解：函数f(x)=x+

1

x

在[1，+∞）上为单调递增函数（4分）
理由如下：
设1≤x₁＜x₂，
则有f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)
=(x1-x2)

x2x1-1

x1x2

（8分）

∵1≤x1＜x2

，
∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0（12分）
所以函数f(x)=x+

1

x

在[1，+∞）上为单调递增函数（14分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中利用作差法（定义法）证明函数单调性是解答本题的关键，也是证明函数单调性常用的方法之一．