Question

（2013•杭州一模）已知甲箱中只放有x个红球与y个白球（x，y≥0且x+y=6），乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球（球除颜色外，无其它区别）．若甲箱从中任取2个球，从乙箱中任取1个球．
（Ⅰ）记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y的值；
（Ⅱ）当x=2时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（I）据排列组合求出三个球的颜色各不同的取法，利用古典概型的概率公式求出概率，再利用基本不等式求其最大值即可．
（II）由题意知当x=2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，故ξ的取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的概率，写出分布列和期望．

解答：解：（I）由题意知：
P=

C 1 x C 1 y

C 2 6 C 1 4

=

xy

60

≤

1

60

(

x+y

2

)2=

3

20

，
当且仅当x=y时，取等号，故当P取得最大值时x，y的值都为3．
（II）当x=2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，故ξ的取值是0，1，2，3．
则P（ξ=0）=

C 2 4 C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

1

5

；P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4 C 1 2 + C 2 4 C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

7

15

；
P（ξ=2）=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 1 4 C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

3

10

；P（ξ=3）=

C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

1

30

；
所以ξ的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）

ξ	0	1	2	3
P	1 5	7 15	3 10	1 30

…（11分）
故Eξ=0×

1

5

+1×

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

，
所求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）=

7

6

．

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望．求事件的概率关键是判断出事件是独立事件的积事件还是互斥事件的和事件，选择合适的公式求出事件的概率．